Un eclipse, una moneda y una vela. Así se midió la distancia a la Luna

¿A quién no le gusta contemplar la belleza de un eclipse lunar como el que tuvo lugar en la madrugada del pasado viernes 19 de noviembre? Pero, ¿sabías que hace más de 2.200 años, un griego calculó la distancia entre la Tierra y la Luna observando un eclipse lunar y usando solo matemáticas, una vela y una moneda?

Aristarco de Samos fue un astrónomo y matemático griego que vivió entre el 310 a. C. y el 230 a. C. 

 

Aristarco tuvo importantes contribuciones en matemáticas, y fue el primer científico en proponer que la Tierra debería girar alrededor del Sol y su propio eje. El mismo sistema que Copérnico (1473-1543) propuso y hoy admitimos. Pero su gran obra fue 'Sobre los tamaños y distancias entre el Sol y la Luna'. Y es que incluso antes de la invención del telescopio, el astrolabio, Internet... Aristarco ya echaba mano de toda la 'tecnología' disponible a su alcance, algunas matemáticas y mucha creatividad, para conocer los secretos de nuestro astro.

Con una moneda en la mano, apuntó hacia la Luna y la colocó de modo que cubriera completamente la estrella. Luego midió la distancia entre la moneda y su ojo, que equivalía a 108 veces el diámetro de la moneda. Por el principio de similitud entre triángulos, concluyó que el satélite estaría a una distancia de 108 veces su diámetro. Pero, ¿cuál sería el diámetro del astro?

Para medir su tamaño, el genio observó un eclipse y calculó el diámetro de la sombra de la Tierra proyectada sobre la Luna. Lo hizo midiendo el tiempo que le tomó al satélite entrar y salir de la sombra terrestre. El tiempo que se tarda en entrar es el tiempo que nuestro astro recorre su propio diámetro. Y el tiempo hasta que abandona por completo la sombra, es el tiempo que la Luna recorre el diámetro de esa sombra.

Exposición del Vaticano de la Biblioteca del Congreso. © Wikimedia

Entonces Aristarco dedujo que la sombra de la Tierra era aproximadamente el doble del diámetro de la Luna. Pero hasta entonces, no conocíamos el diámetro de la Luna. El Sol y nuestro satélite tienen aproximadamente el mismo tamaño aparente en el cielo. Los griegos ya sabían esto porque durante los eclipses totales de Sol, la Luna oscurecía del todo al Sol por unos momentos. 

Aristarco usó entonces esa misma proporción de 108 veces el diámetro del objeto y consideró que el cono de sombra de la Tierra se proyecta a una distancia 108 veces el diámetro del planeta. Sabiendo esto y conociendo el tamaño de la sombra, Aristarco utilizó, una vez más, el principio de similitud entre triángulos y calculó que el diámetro lunar sería similar a un tercio del diámetro terrestre. 

Por lo tanto, la distancia entre la Tierra y la Luna sería equivalente a 36 diámetros terrestres (que es un tercio de 108 veces el diámetro de la Tierra). Obviamente no era una distancia en kilómetros. Pero no existía el kilómetro en esos momentos (el sistema métrico decimal entró en vigor en el siglo XVII). 

Tampoco había relojes, ni relojes de arena. Para medir la duración del eclipse, Aristarco encendió una vela y midió cuánto ardía durante cada fase. Dado que ardía de manera constante, podía convertir la medida de la longitud quemada en una medida de tiempo.

Debido la falta de instrumental, los cálculos no fueron precisos. La Luna es en realidad 3,7 veces más pequeña que la Tierra y está a unos 30 diámetros terrestres. 

Pero incluso con tanta precariedad, Aristarco se acercó mucho a los valores reales. Nada mal, considerando que la estimación anterior era que el diámetro de la Luna era 72 veces más pequeño que el de la Tierra.

Un reloj de vela, como el que usaba Aristarco.
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No obstante, la primera medida real del tamaño y distancia lunar la llevó a cabo Hiparco de Nicea, hacia el año 150 a. C. Para ello utilizó el método ideado por Aristarco 120 años antes. Pasado el eclipse, completó los círculos de las sombras y midió la relación de radios entre los que correspondían a la silueta de la Luna y a la sombra de la Tierra.

Llegó a la conclusión de que: Radio Tierra / Radio Luna = 3,7, con lo que el radio lunar resultaba ser de 1.720 kilómetros, valor muy aproximado al que se maneja en la actualidad. 

Para ello, dibujó la silueta de la Luna y de la sombra de la Tierra en varias fases del eclipse. Suponiendo que el Sol se encontraba muy alejado, la sombra proyectada tenía el mismo tamaño, igual que las sombras chinescas mantienen el tamaño de las manos.

Una vez conocido el tamaño real de la Luna, es fácil calcular la distancia a la que se encuentra de la Tierra a partir del ángulo con que se ven los bordes más separados de la circunferencia que la limita. Este ángulo es de 0,51º. Entonces la forma de calcularla es la siguiente:

Si al diámetro de la Luna (3.440 km) le corresponden 0,51 grados, a la longitud de la órbita lunar (2·π·R) le corresponderán 360º. El radio R de la órbita es la distancia entre la Luna y la Tierra.

Esa distancia resultó ser de 379.000 kilómetros, lo que constituye una estimación magnífica de la realidad actual: la distancia mínima (perigeo) de la Tierra a la Luna es de unos 356.410 kilómetros, y la máxima (apogeo) es de unos 406.700 kilómetros.

No obstante, el valor obtenido por Posidonio (135-50 a. C.) pasó a la posteridad como la mejor estimación de la longitud de la circunferencia terrestre. Fue adoptada por Ptolomeo y su recopilación sobrevivió a lo largo de la Edad Media. 

Cráter  Aristarco. © Wikipedia

Aristarco dio nombre a un gran cráter de impacto que se encuentra en la zona noroeste del hemisferio sur de la cara visible de la Luna. Es considerado la más brillante de las grandes formaciones de la superficie lunar: su albedo es prácticamente el doble que el de la mayoría de los otros accidentes geográficos lunares. 

Colón, de hecho, utilizó este método cuando calculó en 5.000 kms la distancia de Europa a las Indias